Xét tính đơn điệu của hàm số

Định lý sau đây được thừa nhận: Cho hàm y=f(x) có đạo hàm trên Knếu f'(x)>0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên Knếu f'(x)<0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên Kgiả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x) ≥ {\displaystyle \geq } 0 ( f ′ ( x ) ≤ 0 ) ∀ x ∈ K , f ( x ) = 0 {\displaystyle (f'(x)\leq 0)\forall x\in K,f(x)=0} tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K

Điều kiện để hàm số có cực trị

Định lý sau đây được thừa nhận: Giả sử hàm y=f(x) liên tục trên K = ( x 0 − h ; x 0 + h ) {\displaystyle K=(x_{0}-h;x_{0}+h)} và có đạo hàm trên K hoặc trên K ∖ { x 0 } , h > 0 {\displaystyle K\setminus \left\{x_{0}\right\},h>0} Nếu f'(x)>0 trên khoảng ( x 0 − h ; x 0 ) {\displaystyle (x_{0}-h;x_{0})} và f'(x)<0 trên khoảng ( x 0 ; x 0 + h ) {\displaystyle (x_{0};x_{0}+h)} thì x 0 {\displaystyle x_{0}} là một điểm cực đại của hàm số f(x)Nếu f'(x)<0 trên khoảng ( x 0 − h ; x 0 ) {\displaystyle (x_{0}-h;x_{0})} và f'(x)>0 trên khoảng ( x 0 ; x 0 + h ) {\displaystyle (x_{0};x_{0}+h)} thì x 0 {\displaystyle x_{0}} là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)

Tìm cực trị

Định lý sau đây được thừa nhận: Giả sử hàm y=f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng K kể trên và h>0 thì:

nếu f ′ ( x 0 ) = 0 , f ″ ( x 0 ) > 0 => x 0 min {\displaystyle f'(x_{0})=0,f''(x_{0})>0=>x_{0}\min }

nếu f ′ ( x 0 ) = 0 , f ″ ( x 0 ) < 0 => x 0 max {\displaystyle f'(x_{0})=0,f''(x_{0})<0=>x_{0}\max }

Tất cả các kiến thức trong mục này đều có trong SGK Giải tích 12.